Ultimi Commenti

  • Ciao Anakin, si puoi usar... Vedi...
    30.01.16 18:35
    di BatEn
  • Ciao, volevo chiedere se ... Vedi...
    16.01.16 15:51
    di Anakin
  • Trovo l'articolo interess... Vedi...
    27.08.15 10:08
    di Michele
  • Articolo davvero Completo... Vedi...
    17.04.14 00:19
    di Marco
  • Ciao, benvenuto tra noi. Vedi...
    21.06.13 14:26
    di BatEn

Top Five Commentatori

Donazione

Sostieni Mente Geniale effettuando una donazione per migliorare i contenuti del sito e premiare i nostri sforzi.

Importo: 

Powered by OSTraining.com

Login

I numeri diagonali e i numeri laterali PDF Stampa E-mail
( 1 Vote )
Scritto da Maria Rispoli   
Domenica 09 Gennaio 2011 13:15

Il caso del rapporto tra la diagonale ed il lato di un quadrato è certamente uno dei casi, e forse il primo, che condussero alla scoperta dell’incommensurabile. Nella scuola pitagorica si giunse in epoca molto antica (certamente prima di Platone) all’acquisizione che il quadrato costruito sulla diagonale è il doppio del quadrato costruito sul lato (teorema cosiddetto di Pitagora).

Se

 d2 = 2 l2,

 poiché

 

allora

  

Pertanto: se si pone il lato uguale ad 1, il rapporto tra diagonale e lato è:

  

Tuttavia tale rapporto resta fisso sempre, qualunque misura particolare si attribuisca al lato e conseguentemente alla diagonale.

 

Ora  è un valore irrazionale: infatti, non è un numero intero, non è esprimibile con una frazione ordinaria costituita da numeri finiti, e non è neppure un numero periodico; si potrebbe definirlo come un numero decimale illimitato aperiodico. Ma poiché tale valore non è calcolabile mediante il rapporto di interi, bisogna concludere che non c’è rapporto finito di commensurabilità tra diagonale e lato. Cioè non è possibile esprimere esattamente la radice quadrata di 2 mediante un numero razionale m/n, vale a dire che è impossibile trovare due numeri interi m, n tali che si abbia:

  

ossia:

 m2 = 2n2

 cioè il doppio di un numero quadrato  2n2 non può essere un numero quadrato m2 [1].

Tuttavia, quando ancora non era noto il carattere irrazionale di , non conoscendo il numero corrispondente a quel valore, si cercò d’individuarlo.

Bisognava escogitare un procedimento per pervenire, dopo un certo numero di operazioni, al calcolo di un tale valore.

Si partì, a tale scopo, dalla seguente ipotesi:

se il quadrato costruito sulla diagonale è il doppio del quadrato costruito sul lato, bisogna allora verificare se esista un numero, doppio di un certo numero quadrato (2n2) tale che estraendone la radice quadrata risulti un numero perfettamente esprimibile con una sola cifra o per mezzo di una quantità finita di cifre; in tal caso, quest’ultimo numero, sottoposto all’operazione di elevazione al quadrato, darà un altro numero quadrato (m2), in modo che:

 2n2 = m2

 In breve: bisogna verificare se il doppio di un numero quadrato sia, a sua volta, un numero quadrato.

Se si verifica che:

 2n2 = m2

 allora   sarà un numero razionale in quanto  è, di certo, un numero razionale.

E poiché  costituisce la misura della diagonale, questa risulterà espressa da un numero razionale; e, di conseguenza, la diagonale sarà commensurabile con il lato.

A tal fine si pensò di procedere ordinatamente ad aumentare la misura del lato, e conseguentemente della diagonale, per vedere che cosa accadesse, mano a mano, tra i valori numerici che esprimono l’area dei quadrati costruiti sul lato e sulla diagonale.

Sorge quindi l’idea di trovare due numeri m ed n tali che con essi si ci avvicinino quanto più possibile alla relazione m2 =2n2.

Pertanto:

  • dato il lato uguale ad 1, il quadrato della misura del lato è uguale ad 1, e il quadrato della misura della diagonale e uguale a 2 (= 2 * l); 
  • dato il lato uguale a 2, il quadrato della misura del lato è uguale a 4, e il quadrato della misura della diagonale è 8 (= 2 * 4);
  • dato il lato uguale a 3, il quadrato della misura del lato è 9, pertanto il quadrato della misura della diagonale è 18 (= 2 * 9).

E così via.

Da questo procedimento, però, risultava che non esistono numeri quadrati (m2), che siano uguali al doppio di un certo numero quadrato (2n2) sicché la diagonale restava ancora incommensurabile con il lato.

Non rimaneva, quindi, altra alternativa ai matematici antichi che tentare di approssimarsi al valore di  ; e lo stesso procedimento ora descritto offriva una possibilità.

Infatti, in alcuni casi il doppio di un certo numero quadrato differisce di 1, in più o in meno, rispetto ad un altro numero quadrato.

Primo esempio:

  • dato il lato uguale a 2, il suo quadrato è 4, il doppio di questo numero quadrato è 8;
  • dato il lato uguale a 3, il suo quadrato è 9; quindi il numero 8 (equivalente al quadrato costruito sulla diagonale in una figura quadrata a lato uguale a 2) differisce di una unità, in meno, rispetto al numero 9 (che esprime l’area del quadrato costruito sul lato uguale a 3).

Secondo esempio:

  • dato il lato uguale a 5, il quadrato è 25, il doppio di questo numero quadrato è 50;
  • dato il lato uguale a 7, il quadrato di questo numero è 49; anche ora si verifica che il numero 50 (che esprime l’area del quadrato costruito sulla diagonale in una figura quadrata a lato uguale a 5) differisce di una unità, ma ora in più, rispetto al numero 49 (che esprime l’area del quadrato costruito sul lato uguale a 7).

Procedendo oltre si può costatare il verificarsi di altri casi simili. Ma, cosa ben più importante, si possono stabilire due serie di valori numerici crescenti, di cui la prima:

 (1, 2, 5, 12, 29, 70, 169…),

detta dei numeri laterali, contiene i numeri i cui quadrati, raddoppiati, differiscono di 1 dai quadrati dei numeri corrispondenti nella seconda:

 (1, 3, 7, 17, 41, 99, 239 …),

 detta dei numeri diagonali.

E se si indica con n un numero della prima serie (numero laterale) e con m il corrispondente numero della seconda serie (numero diagonale), la relazione si può esprimere con la formula:

 m2 = 2n2 ± 1.

 Tale equazione, dunque, risulta verificata per le seguenti coppie dei numeri diagonali-laterali:

 1 e 1,

3 e 2,

7 e 5,

17 e 12,

41 e 29,

99 e 70,

239 e 169,

ecc…

 Infatti ad esse corrispondono, rispettivamente, i seguenti valori:

 1 = 2 – 1

9 = 8 + 1

49 = 50 – 1

289 = 288 + 1

1681 = 1682 – 1

ecc…

 

Dall’analisi della tavola di queste coppie e dei valori corrispondenti risulta che i casi in cui si verifica l’equazione sopra citata diventano sempre più rari mano a mano che si avanza nella serie naturale dei numeri; inoltre, procedendo ordinatamente, si può costatare che i raddoppiamenti dei quadrati dei numeri laterali risultano approssimati, alternativamente, per difetto e per eccesso, ai quadrati dei numeri diagonali.

Altra e più importante constatazione è che nell’equazione sopra citata m2 rappresenta un valore approssimato di 2n2; allora m2/n2 è un valore approssimato di 2; cioè se si dividono i numeri diagonali al quadrato per i corrispondenti numeri laterali al quadrato si otterranno dei numeri approssimati al 2; e di conseguenza m/n darà un valore approssimato di  ; cioè se si divide un numero diagonale per il corrispondente numero laterale, si otterrà un valore approssimato all’incommensurabile  ; e se si procede sistematicamente nella divisione, si avrà una serie di valori che saranno alternativamente approssimati a , una volta per difetto ed una volta per eccesso; per di più a valori più grandi di m e di n la divisione darà valori che rappresentano progressivamente uno scarto sempre minore nell’approssimazione a , ossia si sarà sempre più vicini, una volta per difetto e una volta per eccesso, all’irrazionale , infatti basta dare uno sguardo ai valori decimali corrispondenti alle frazioni per costatarlo:

 

 

E saranno così ottenute due serie di valori convergenti, l’una per difetto e 1’altra per eccesso, che hanno come loro limite  .

L’enunciato degli Elementi, cioè la Proposizione 10 del Libro II afferma:

“Se si divide per metà una linea retta ed un’altra le è aggiunta, il quadrato di tutta la prima retta più quella aggiunta ed il quadrato della retta aggiunta, presi ambedue assieme, sono il doppio della somma del quadrato della metà della prima retta e del quadrato descritto, come su una sola linea retta, sulla retta composta dalla metà della prima e da quella aggiunta”[2].

 Mentre nella Proposizione 9 del Libro II degli Elementi di Euclide si legge:

 “Se si divide una linea retta in parti uguali e disuguali, la somma dei quadrati delle parti disuguali è il doppio della somma del quadrato della metà della retta e del quadrato della parte compresa fra i punti di divisione”.

 

Se si trascrivono algebricamente i due enunciati, indicando con d e l rispettivamente il numero diagonale e il numero laterale e con 2n e m i due segmenti di retta come nella Proposizione 10 del Libro II degli Elementi si ottiene la seguente formula per il teorema pitagorico:

 di = di-1 + 2li-1

li = li-1 + di-1

 mettendo i valori su due righe si ha:

 di       1,     3,     7,     17,     41, 99,    239, 577 ,…,

li        1,     2,     5,     12,   29,   70,   169, 408  ,…,

 Osservando il diagramma dei numeri diagonali e laterali si può vedere come:

 “La somma dei quadrati di due numeri diagonali successivi è equivalente al doppio della somma dei quadrati dei corrispondenti numeri laterali”.

 Teone Smirneo chiama numeri laterali quelli della seconda riga e numeri diagonali quelli della prima riga: infatti se i numeri della seconda riga indicano la lunghezza del lato di un quadrato, i numeri della prima riga danno valori approssimati della lunghezza della diagonale.

Questa determinazione di valori approssimati della radice quadrata di 2 è stata quasi certamente determinata in modo empirico ed ha lasciato traccia in Teone Smirneo (Exposition des connaissance mathématique utiles pour la lecture de Platon[3]), e in Proclo nel commento alla Repubblica di Platone, infatti Proclo nel commentare Repubblica, VIII,546 c5, che riporta la distinzione tra la diagonale esprimibile e quella inesprimibile, ci riferisce di un teorema “elegante” che i Pitagorici avrebbero dimostrato “per mezzo di numeri” mentre lo stesso teorema sarebbe dimostrato “per mezzo di linee” nella Proposizione 10 del Libro II degli Elementi di Euclide.

Il teorema pitagorico verte “sulle diagonali e sui lati” ed è lo stesso che Teone Smirneo presenta nella sua prima sezione, L’Aritmetica, sotto il titolo di numeri diagonali e laterali, e Giamblico, in Nicomachi Aritmeticam Introductionem, in relazione al rapporto (logos) laterale e diagonale.

Se si confrontano gli enunciati dei due teoremi, il primo dimostrabile aritmeticamente e il secondo geometricamente, si trova che la diversità della loro enunciazione pone il problema di una derivazione tra i due.

Gli studiosi (Zeuthen, Becker, Michel) considerano il teorema nella forma euclidea e ne mostrano la parentela con quello sui numeri diagonali e laterali.

Però Proclo nel Commento al Libro I degli Elementi afferma che la proposizione 10 del Libro II è valida sia geometricamente che aritmeticamente, rientrando in quei teoremi comuni tanto all’Aritmetica che alla Geometria.

Se si vuole seguire l’indicazione di Proclo è necessario derivare l’enunciato della Proposizione 10 del Libro II dal teorema pitagorico, che per il riferimento di Platone sembra essere ben anteriore all’enunciato euclideo.

 Se osserviamo separatamente i valori di d ed l scopriamo che essi possono essere definiti ricorsivamente, i numeri diagonali sono definiti tramite le formule:

d(1) = 1

d(2) = 3

d(x) = 2 * d(x – 1) + d(x – 2)

 mentre i numeri laterali tramite le formule:

l(1) = 1

l(2) = 2

l(x) = 2 * l(x – 1) + l(x – 2)

 Possiamo pertanto utilizzare queste formule per ottenere un algoritmo per il calcolo dei numeri diagonali e dei numeri laterali.

La meccanizzazione del calcolo rientra decisamente tra le aspirazioni sempre perseguite dalla matematica; un esempio critico è il metodo di Erone per il calcolo di .

Se

 x2 = 2,

è

 x * x = 2,

 cioè:

 .

 

Supposto, dunque, che x0 sia una approssimazione della soluzione x* dell’equazione, anche

 

 lo è (anzi, se una lo è per difetto l’altra lo è per eccesso).

La media aritmetica delle due approssimazioni fornisce dunque un valore x1 più vicino a x* di quanto lo fosse x0:

  

Il passo successivo è una ripetizione:

 ;

 così ancora:

 

 per n = 0,1,2,...... sintetizza la procedura ricorsiva[4].

 


[1] A. Frajese, Elementi di Euclide.

[2] trad. A.Frajese e L.Maccioni

[3] traduzione francese di J. Dupus, Parigi, Hachette, 1892, pp.70-75

[4] E. Ambrisi, Spunti in matematica discreta, in quaderno XXXVI Olimpiadi di Matematica, Cesenatico,1995

Ultimo aggiornamento Martedì 01 Marzo 2011 11:51