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Conversione della scrittura di un numero dalla base decimale a quella binaria PDF Stampa E-mail
( 1 Vote )
Scritto da Maria Rispoli   
Domenica 09 Gennaio 2011 19:49

Ogni civiltà sviluppò la numerazione fin dove le era necessario spingerla.

In generale, uno degli artifici più importanti fu di ritenere che un certo gruppo di oggetti, presi tutti insieme, contasse come un solo oggetto, un’unità di ordine superiore, in modo che la numerazione potesse ricominciare per proseguire fino all’introduzione di una nuova unità. In queste numerazioni, dette sistematiche, la maniera più semplice di procedere è quella di formare ogni unità con un numero fisso di unità dell’ordine immediatamente inferiore.

Questo numero è la base del sistema di numerazione.

Forse il sistema più antico è il sistema a base 2 o binario, usato, pur con modalità differenti, nelle culture più arcaiche di tutti i continenti.

Le basi derivate dal 2, come il 4, il 6, il 12, … sembra che abbiano avuto scarsa diffusione.

 

I più usati furono invece i sistemi che permettono di contare con le dita e cioè i sistemi in base 5 (o quinari, o pentadici), i sistemi in base 10 e in base 20.

Il sistema in base 20 era diffuso dall’Oceania all’Africa occidentale, dalla Siria all’America artica, al Messico, alle Ande e anche nell’Europa preistorica: numeri come il francese quatre-vingt ne conservano il ricordo.

Anche le civiltà precolombiane dell’America lo usarono: gli Aztechi avevano un numerale speciale 8.000, l’unità vigesimale del quarto ordine, e i Maya avevano una parola anche per la loro unità del settimo ordine, cioè 57.600.000. Nella figura si vede il sistema di numerazione in base 20 utilizzato dai Maya.

 

La società matriarcale dei primi agricoltori introdusse un sistema misto quinario-decimale in base 10 che è ancora diffuso tra le popolazioni dell’Africa, dell’Asia centro meridionale e della Melanesia.

Il sistema decimale puro pare si sia sviluppato presso la civiltà patriarcale dei pastori nomadi che si spostava dall’Asia centrale all’Oceano Atlantico. Fu adottato dai popoli semiti e indeuropei e da loro trasmesso alla cultura occidentale.

Un importante sistema di numerazione in base 60 fu usato dagli astronomi babilonesi e ancor oggi viene usato per la misura degli angoli e del tempo.

Nella figura è riportato un esempio di numerazione babilonese.

  

Un importante passo avanti nello sviluppo dei sistemi di numerazione fu compiuto quando si cercò di conservare nel tempo il risultato di certe operazioni, e si arrivò quindi alla numerazione scritta. Inizialmente si usarono oggetti infilati su una collana, nodi su una corda, o meglio disegni sulla pietra o sulla carta; i disegni si ridussero successivamente alla loro forma più semplice e ad ogni oggetto corrispose un trattino o un punto; se poi era già entrato nell’uso un sistema di numerazione per ogni unità di ordine superiore si introdusse un nuovo segno: il numero totale si otteneva sommando i valori di tali segni.

Questo sistema di numerazione scritta si dice a legge additiva.

Le prime tracce di questo metodo compaiono più di 5000 anni fa; sistemi additivi furono usati dagli Egizi, che introdussero particolari geroglifici:

 

 

e dai Greci, dagli Ebrei e dai Romani, che usarono le lettere dell’alfabeto.

 

 

I Romani usarono da prima segni convenzionali, di origine etrusca, che, successivamente vennero identificati con lettere dell’alfabeto.

Il metodo addizionale presentava difficoltà nell’esecuzione dei calcoli che venivano risolti per mezzo di strumenti, il più antico dei quali fu l’abaco.

L’efficacia dell’abaco dipende dal fatto che un medesimo oggetto, o un medesimo simbolo, assume valori diversi se occupa posizioni diverse: questo è il principio posizionale.

Se lo si applica ai segni su carta invece che alle originarie pietruzze nelle caselle, si ottiene il nostro moderno sistema di numerazione.

Le prime tracce storiche di questo sistema risalgono al 500 d.C. e si trovano in India, ma la sua origine è sicuramente più remota in quanto già nella numerazione babilonese si trovavano elementi posizionali.

Il sistema completo con l’uso del metodo posizionale, delle nove cifre (cifre significative) e dello zero (cifra non significativa che fu l’ultimo simbolo introdotto) si trovano nelle opere del matematico indiano del sec. VII Brahmagupta.

Una trattazione sistematica di tutto il nuovo metodo risale al sec. IX e si trova in un trattato di al-Khuwârizmî, pubblicato a Baghdad e introdotto in Europa dai mercanti.

La numerazione indiana fu introdotta definitivamente da Leonardo Pisano, il Fibonacci, con il Liber abbaci; le forme attuali dei numeri assunte verso i sec. XIV-XV si chiamano cifre arabe.

Essendo 10 i simboli usati, il sistema di numerazione è decimale.

  

L’importanza della numerazione binaria è dovuta al fatto che essa, e le altre da essa derivate, viene applicata agli elaboratori elettronici. Per questa numerazione bastano le cifre 0 e 1 (dette bit, cioè cifre binarie) poiché con la loro combinazione si può rappresentare qualunque numero.

 

NUMERAZIONE

 25

 24

23 

 22

 21

20 

 102

 101

 100

2x2x2x2x2

(2x2x2x2)

2x2x2

(2x2)

(2x1)

1

10x10

10

1

32

16

8

4

2

unità

centinaia

decine

unità

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

 

 

 

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

0

 

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

A destra sono scritti i numeri nel sistema decimale e a sinistra gli stessi numeri scritti nel sistema binario

 

Le operazioni si eseguono seguendo gli stessi criteri validi nella numerazione decimale.

E’ possibile convertire i numeri in base dieci in una qualsiasi altra base e viceversa.

La procedura consiste nel calcolare i resti delle divisioni tra il numero n in base dieci e la nuova base b e la procedura ha termine quando il quoziente è nullo.

Dato N in base 10 per trovare la sua rappresentazione binaria n dobbiamo dividere il numero N per 2, trovando il quoziente intero; il resto (0 o 1 a seconda che N sia pari o dispari) è equivalente al numero delle unità del primo ordine, mentre il quoziente va diviso nuovamente per 2 al fine di trovare il numero delle unità del secondo ordine; il procedimento si ripete fino a quando l’ultimo quoziente intero è zero.

Ad esempio consideriamo il numero 14 in base 10 si trasforma in base 2 nel seguente modo:

 14:2=7                           resto=0

7:2=3                            resto=1

3:2=1                            resto=1

1:2=0                            resto=1

 

quindi 14 in base 2 è uguale a 1110, cioè si legge il numero dal basso verso l’alto.

 Se vogliamo passare dalla base due alla base 10 osserviamo che il numero in base 10 è uguale alla sommatoria (con i che va da 0 a n-1) dei prodotti fra 2 elevato alla i e i relativi valori di b.

Ad esempio consideriamo il numero 1101 in base 2 esso si trasforma in base 10 nel seguente modo:

 (1101)2 =  1 * 23 + 1 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20  = 8 + 4 +1 = (13)10

 Osserviamo che questo si può fare anche se il numero che andiamo a considerare è un numero con la virgola.

Se vogliamo passare da un numero in base 10 ad un numero in base 2 si può applicare il metodo delle moltiplicazioni successive che consiste nel moltiplicare il numero assegnato n per la nuova base b, la parte intera del risultato è la cifra significativa.

Ad esempio prendiamo il numero 0,8125 che è in base 10 per passarlo in base due effettuiamo i seguenti prodotti:

 0,8125 * 2 = 1,6250                        parte intera 1

0,6250 * 2 = 1,2500                        parte intera 1

0,2500 * 2 = 0,5                              parte intera 0

0,5 * 2 = 1                                        parte intera 1

 quindi il numero in base 2 è 0,1101.

Per passare dal numero in base 2 a quello in base 10 bisogna tenere presente che i pesi delle cifre dopo la virgola sono potenze di 2 ad esponente negativo.

Ad esempio consideriamo il numero 0,1101 in base 2 per trasformarlo in base 10 procediamo nel seguente modo:

(0,1101)2 = 0 * 20 + 1 * 2-1 + 1 * 2-2 + 0 * 2-3 + 1 * 2-4 =  (0,8125)10.

 

Ultimo aggiornamento Martedì 01 Marzo 2011 10:16