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La radice quadrata PDF Stampa E-mail
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Scritto da Maria Rispoli   
Domenica 09 Gennaio 2011 20:05

Consideriamo un numero ed eleviamolo alla seconda

  

L’operazione inversa dell’elevamento a potenza è l’estrazione della radice quadrata

  

Questa operazione si indica con il simbolo   , che si legge radice quadrata di

 

Estrarre la radice quadrata di un numero (detto radicando) significa determinare quel numero che elevato al quadrato dà il numero di partenza

  

E’ nota che l’estrazione di radice quadrata non è sempre eseguibile nel campo dei numeri razionali.

Essa è però sempre eseguibile geometricamente, cosa che facciamo vedere nel prossimo paragrafo.

 

 

Rappresentazione grafica della radice quadrata

Dato un segmento a, anche  può essere costruita col solo uso della riga e del compasso.

Su una retta si riporta OA = a e AB = 1.

 

Si traccia un cerchio di diametro OB e si costruisce la perpendicolare a OB passante per A: sia C la sua intersezione con il cerchio. Il triangolo OBC è rettangolo in C, perché, come è noto dalla geometria elementare, un angolo inscritto in mezza circonferenza è retto.

Quindi:

 O?A=AC

 i triangoli rettangoli OAC e CAB sono simili, e si ha, per x = AC,

 ;         x2 = a;        .

 

Algoritmi per l’estrazione della radice quadrata

Aritmeticamente il più antico schema di estrazione di radice quadrata che conosciamo, compare nel commento di Teone di Alessandria (VI secolo) all’Almagesto di Tolomeo.

Dal XIII al XVI secolo, con l’introduzione delle cifre indoarabiche, l’algoritmo usato per l’estrazione della radice quadrata (che già si trova, con esempi numerici di crescente difficoltà, nel Liber abaci di Fibonacci) è stato quello classico per galera.

Uno dei primi esempi di estrazione di radice a danda, il metodo che, salvo trascurabili differenze nella disposizione del calcolo è usato tutt’oggi, è esposto da Rafael Bombelli nel suo trattato L’Algebra del 1572[1].

Nel libro primo dell’Algebra di Rafael Bombelli viene sviluppato il calcolo di radicali, ed in particolare viene insegnata l’estrazione di radici aritmetiche esatte ed approssimate.

Come ci fa notare Ettore Bortolotti:

 “E’ notevole la regola che egli  [R. Bombelli] dà per

“formare il rotto nella estrazione della radice quadrata”,

cioè per calcolare la radice quadrata approssimata di numeri non quadrati”.

 

Vedremo di seguito tale metodo confrontando il linguaggio utilizzato dal Bombelli con quello moderno.

“Pongasi dunque che si habbia a trovare il lato prossimo di 13, di cui il più prossimo quadrato è 9, di cui il lato è 3; però pongo che il lato prossimo di 13 sia 3+1 tanto e il suo quadrato è 9+6 tanti +1 potenza, il qual’è eguale a 13, che levato 9 a ciascuna delle parti, resta 4, eguale a 6 tanti + 1 potenza.

Molti hanno lasciato andare quella potenza, e solo hanno agguagliato 6 tanti a 4, che il tanto valeria    et hanno fatto che l’approssimatione si è 3 perché la positione fu 3+1 tanto, viene ad essere 3; ma volendo tenere conto della potenza ancora, valendo il tanto , la potenza valerà di tanto, che aggionto con li 6 tanti di prima, si haverà 6tanti eguale a 4, che agguagliato, il tanto valerà   e perché fu posto 3+1 tanto sarà 3 e valendo il tanto , la potenza valerà   di tanto, e si haverà 6  di tanto eguale a 4, si che si vede donde nascono le regole dette di sopra”.

 

Di seguito quanto scritto è tradotto in linguaggio moderno.

Supponiamo che si voglia calcolare un valore prossimo di  , il numero 3 è il termine il cui quadrato è più vicino al valore 13. Quindi abbiamo che:

  

Effettuando il quadrato di ambo i membri si ottiene:

 13=9+6x+x2

cioè:

4=6x+x2

 Trascurando in prima approssimazione x2, si ha

 6x = 4

 

 

Volendo un valore più approssimato, si faccia

  

Poiché:

 4 = 6x + x2

otteniamo:

 

 

Ma sappiamo che:

  

Quindi sarà:

  

in quanto abbiamo trovato:

  

Se sostituiamo questo valore in

 4 = 6x + x2

 otteniamo:

 

Sostituendo questo valore in:

  

otteniamo un valore per la radice quadrata di 13 ancora più preciso del precedente:

  

Il Bombelli dice che “procedendo come si è fatto di sopra si approssimarà come l’huomo vorrà”; ma non avendo lasciato i calcoli non estrinsecò la frazione continua, che fu più tardi rivelata da Cataldi.

Dal procedimento esposto nell’Algebra di Rafael Bombelli si può determinare una formula ricorsiva in grado di calcolare valori approssimati delle radici quadrate di numeri non quadrati.

Volendo per esempio calcolare un valore approssimato di radice quadrata di 2:

  

dove 1 rappresenta il valore approssimato a meno di una unità mentre x è una quantità positiva da determinare soddisfacente la condizione:

 

Quadrando la  abbiamo:

  

da cui, trascurando il termine x2 rispetto ad x, abbiamo un primo valore, che denotiamo con x0, della grandezza incognita x:

  

Pertanto sostituendo nell’espressione iniziale di radice di due abbiamo:

  

che risulta essere un valore approssimato per eccesso a meno di un decimo di radice quadrata di due. Al fine di ottenere un’approssimazione migliore basta sdoppiare il monomio x2 nel seguente modo:

  

allora sostituendo nella:

  

abbiamo:

 

che sostituito nella   ci dà:

 

 

da cui:

  

pertanto:

  

Iterando tale procedimento perveniamo alla seguente formula ricorsiva:

 

 

Applicando la procedura per la radice di tre troviamo successivamente:

 

3=1+2x+x2

2=2x+x2 

e trascurando al solito il termine quadratico rispetto ad x abbiamo: x0=1.

Pertanto:

  

è un valore approssimato per eccesso a meno di un’unità. Così continuando perveniamo al risultato finale:

 x2 = x * x = x0 * x = 1 * x

2 = 2x + 1x

2 = (2 + 1) x

 da cui:

 

 e quindi la formula ricorsiva:

 

 Applicando la stessa procedura per le successive radici quadrate di numeri non quadrati, abbiamo trovato le seguenti formule ricorsive:

 

 e così via.

Da una attenta analisi di queste formule ricorsive ci rendiamo conto che è possibile ottenere una formula generale la quale sia in grado di fornire un valore approssimato della radice quadrata di un qualunque numero non quadrato.

Difatti i risultati conseguiti in precedenza potrebbero già condurre alla:

 

Verifichiamo la consistenza della precedente regola procedendo per via deduttiva:

 

 a = b2 + 2bx + x2

a - b2 = 2bx + x2

 trascurando x2 rispetto ad x abbiamo:

a - b2 = 2bx

 e quindi:

 

 

Proviamo ora a definire x in modo ricorsivo. Se con n indichiamo il grado d’approssimazione desiderata, allora la formula ricorsiva risulta:

  

 

Metodo di Newton per il calcolo della radice quadrata

Vediamo come calcolare la radice quadrata di un numero positivo N, utilizzando il metodo di Newton.

Il numero   è l’unica soluzione positiva dell’equazione:

 

 Il numero  è anche il limite, per n --> ?, della successione il cui primo termine è

 

 mentre il termine generale è:

 

 Si noti che

 

 nell’intervallo  . Semplificando la relazione

 

 otteniamo la relazione di ricorrenza:

  

Osserviamo che abbiamo già studiato questa successione. La quale per N=2 è la stessa successione definita con l’algoritmo di Erone[2].

 


[1] Bottazzini, Freguglia, T. Rigatelli, Fonti per la Storia della Matematica, Sansoni.

[2] P. Marcellini, C. Sbordone, Calcolo, Liguori.

Ultimo aggiornamento Lunedì 28 Febbraio 2011 10:00