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La radice cubica PDF Stampa E-mail
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Scritto da Maria Rispoli   
Domenica 09 Gennaio 2011 20:18

I più antichi esempi di estrazione di radice cubica che ci sono pervenuti, sono databili tra la fine del VI secolo e ne è autore il matematico indiano Aryabata. Per quanto riguarda la letteratura europea troviamo le prime estrazioni di radici cubiche nel Liber abaci di Fibonacci e, naturalmente si tratta di procedimenti a galera. Il primo esempio di estrazione cubica a danda è esposto da Bombelli ne L’Algebra, ma si tratta di un esempio piuttosto complicato, giacché l’autore estrae la radice cubica di 98.765.432.100[1].

Vedremo ora un metodo per l’estrazione della radice cubica di un numero, Rafael Bombelli nell’Algebra espone questo metodo servendosi di un esempio che noi andremo a vedere e che tradurremo in linguaggio moderno.

Ettore Bartolotti afferma che l’apparente confusione dell’enunciazione del Bombelli nasce dal fatto che il Bombelli opera tutti i passaggi direttamente.

Vediamo l’esempio esposto nel Libro primo dell’Algebra.

 

“Presupposto che si havesse a trovare il prossimo lato cubo di 1100, prima si cerca il più prossimo numero cubo che non lo superi, che sarà 10, il cubo è 1000, che cavato di 1100 resta 100.

Hor piglisi il triplo di 10 fa 30 e questo si moltiplichi via il 100 rimasto, fa 3000, e salvisi: poi quadrasi 10 fa 100, giongasegli la sua metà per regola, fa 150, quadrisi fa 22500, e gionghisi al 3000 salvato, fa 25500, e di questo si pigli il lato quadrato prossimo, ch’è 159 , e di questo si cavi il 150 che fu quadrato, resta 9 , e questo va partito per il 30 triplo del 10, ne viene   ovvero  , questo è il rotto cercato, che gionto con 10 fa 10 , e questo è il lato prossimo cercato,…”

 

Supponiamo di voler trovare la radice cubica del numero N=1100.

Troviamo un numero che elevato al cubo si avvicini al numero 1100 senza superarlo, questo valore è a=10 che elevato al cubo ci dà 1000. Sottraendo questo valore dal numero 1100 si ottiene un residuo r:

 1100-103=1100-1000=100.

 Cioè:

 N - a3 = r.

 Consideriamo il triplo del numero a e moltiplichiamolo per il residuo o rotto ottenuto:

 3 * a * r  = 3 * 10 * 100 = 30 * 100 = 3000

 Ora eleviamo al quadrato a e aggiungiamoci la sua metà:

  

consideriamo il quadrato del valore trovato e aggiungiamoci il valore 3000 ottenuto in precedenza:

  

Si calcoli ora la radice quadrata di questo valore e si sottragga dal risultato il numero 150, si ha:

  

Questo valore ottenuto va diviso per 30 che è i triplo del numero 10 e si ottiene:

  

questo è il rotto cercato, cioè la x.

Per cui:

  

o come scrive il Bombelli:

  

Dunque questa regola si ricava ponendo:

N = a3 + r = (a + x)3

 si ha:

a3 + r = a3 + 3a2x +3ax2 + x3 

e trascurando x3 si ottiene, per determinare x, l’equazione di secondo grado:

 3 a x2 + 3 a2 x = r

 da cui, con la scrittura del Bombelli:

  

Quindi dobbiamo cercare il più grande valore a che elevato al cubo sia minore di N, trovato questo valore giungiamo facilmente al valore di r, in quanto:

N = a3 + r 

pertanto il calcolo di x, tramite la formula precedentemente ricavata, diventa semplice ed è possibile formulare un algoritmo in qualsiasi linguaggio di programmazione.

 

 


[1] Bottazzini, Freguglia, T. Rigatelli, Fonti per la Storia della Matematica, Sansoni.

Ultimo aggiornamento Sabato 26 Febbraio 2011 11:09