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Il triangolo aritmetico di Pascal o di Tartaglia PDF Stampa E-mail
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Scritto da Maria Rispoli   
Domenica 09 Gennaio 2011 20:20

Il cosiddetto triangolo aritmetico è anche chiamato, giustamente, triangolo di Pascal, giacché è a questo matematico francese che se ne deve lo studio approfondito delle proprietà.

Il triangolo è però ben più antico: esso si trova per la prima volta, in scrittura greca, in un codice vaticano, forse del XIII secolo, sulle opere di Euclide.

Noto anche ai matematici cinesi, il triangolo è riportato nel trattato Prezioso specchio dei quattro elementi, del quale è autore, all’inizio del XIV secolo, Chu-shih-chieh.

La prima opera a stampa nella quale compare il triangolo è il testo di aritmetica di Pietro Apiano del 1527.

Con evidente nazionalismo, in alcuni libri di testo, il triangolo è chiamato triangolo di Tartaglia, in effetti, nel suo General Trattato (1556) Niccolò Tartaglia vanta quale opera sua la legge di formazione dei coefficienti binomiali che ricava dal calcolo delle prime undici potenze di un binomio, legge che suggerisce appunto la distribuzione in forma triangolare[1].

Il triangolo di Tartaglia è quel triangolo che si costruisce sommando sempre i due numeri della riga di sopra, e serve per calcolare le potenze di un binomio.

 

Coefficiente binomiale 

Nel calcolo combinatorio e molto importante sapere in quanti modi diversi si possono scegliere k oggetti o elementi da un insieme che ne contiene n.

In altre parole si cerca il numero di parti di un insieme di cardinalità n aventi ciascuna cardinalità k. Tale numero si indica con

  

e si chiama coefficiente binomiale.

 

Quando n e k sono piccoli si può trovare mediante enumerazione diretta: per esempio ci sono esattamente sei maniere diverse di scegliere due lettere tra le quattro lettere A, B, C, D e precisamente AB, AC, AD, BC, CD, BD (l’ordine non conta) quindi

  

I coefficienti binomiali si possono calcolare con la semplice formula

  

e si dispongono comunemente secondo la comoda tabella della figura, detta triangolo di Tartaglia.

  

Nel triangolo di Tartaglia, il quale è un mezzo utile per calcolare le probabilità (fu introdotto in matematica da Pascal soprattutto per questo scopo), ciascun numero è la somma di due numeri immediatamente sovrastanti.

Con la scoperta della cosiddetta legge dei grandi numeri divenne chiaro che nel calcolo delle probabilità v’è ben più che mera enumerazione.

Ammettiamo che si gettino dieci monete; che probabilità c’è che vengano esattamente quattro teste?

L’esito complessivo di dieci lanci di monete può essere simbolicamente rappresentato come una sequenza di lunghezza dieci, per esempio TTCCCTCCTC, dove T significa “testa” e C significa “croce”; tra tali sequenze ve ne sono  , ossia 210, che contengono esattamente quattro T, perché ci sono  , maniere diverse per scegliere le quattro posizioni (tra le dieci possibili nella sequenza) che vanno occupate dalla lettera T; il numero totale delle sequenze di lunghezza dieci si ottiene addizionando tutti i termini della decima riga del triangolo di Tartaglia, ed è eguale a 1024, ossia a 210. Quindi, se le monete non sono “truccate”, se cioè tutte le sequenze di lunghezza dieci sono egualmente probabili, la possibilità cercata vale:

  

Potenza di un binomio 

Consideriamo la potenza di un binomio (a+b)n , con n intero e positivo; generalizzando il quadrato ed il cubo di un binomio (di cui si può dare una interpretazione geometrica, Elementi di Euclide, libro II) ed analizzando il calcolo della generica potenza di un binomio si nota che tutti gli sviluppi sono polinomi omogenei e completi di grado uguale all’esponente della potenza. Ordinando tali sviluppi secondo le potenze decrescenti di uno dei due monomi, si nota che i coefficienti sono i numeri del seguente prospetto che prende il nome di Triangolo di Tartaglia (Niccolò Fontana, Trattato dei numeri e delle misure, 1556), per la cui costruzione è sufficiente osservare che ogni riga inizia e termina con 1 e gli altri valori si ottengono come somma dei due elementi soprastanti.

  

Il Triangolo può essere scritto nel seguente modo con lo sviluppo della potenza secondo Newton: nella dimostrazione si fa uso delle Combinazioni, appena introdotte.

 

 

Proprietà dei coefficienti binomiali.

Lo schema precedente permette tra l’altro di verificare le proprietà dei coefficienti binomiali:

  • proprietà di simmetria

  

  • teorema di addizione dei coefficienti binomiali

  

conosciuta pure come Legge o formula di Stifel

La formula di Stifel, al crescere di n e k, ci permette di calcolare ricorsivamente i coefficienti binomiali, alcuni dei quali sono riportati nella matrice infinita del triangolo aritmetico avanti presentata. Da tale relazione, iterata più volte, abbiamo:

 

 

Nell’ultimo passaggio l’ultimo termine è nullo quindi abbiamo in definitiva l’identità:

  

Tale formula per k=1 ci permette di calcolare la somma delle potenze naturali fino ad n. Infatti diventa: per k=1

  

cioè la classica identità (attribuita a Gauss) che dà la somma dei primi n numeri naturali:

  

Costruzione del triangolo aritmetico ad opera di Blaise Pascal

I possibili usi del triangolo sono evidenziati da Pascal nel suo Traité du triangle arithmétique, composto nel 1654 (ma pubblicato nel 1665, dopo la morte dell’autore), sono: per gli ordini numerici, cioè per le successive somme dei numeri interi; per la soluzione del problema delle parti[2].

Vediamo, qui di seguito, come Blaise Pascal, in Traité du triangle aritmétique parla del triangolo aritmetico.

“Chiamiamo Triangolo aritmetico, una figura la cui costruzione è la seguente.

Conduco da un punto qualunque G, due linee perpendicolari l’una all’altra, GV, Gz, in ciascuna delle quali prendo quante voglio parti uguali e continue, a cominciare da G, che chiamo 1,2, 3, 4, etc, e questi numeri sono gli esponenti delle divisioni delle linee.

Poi congiungo i punti della prima divisione che sono in ciascuna delle due linee per mezzo di un’altra linea che forma un triangolo del quale essa è la base.

Congiungo così i due punti della seconda divisione per mezzo di un’altra linea, che forma un secondo triangolo del quale essa è la base.

E congiungendo così tutti i punti della divisione che hanno uno stesso esponente, formo tanti triangoli quante basi.

Conduco per ciascuno dei punti di divisione, delle linee parallele ai lati, che mediante le loro intersezioni formano dei piccoli quadrati che chiamo celle.

E le celle che sono tra due parallele che vanno da sinistra a destra, si chiamano celle di una stessa fila parallela, come le celle G, s, p, etc., o j, y, J, etc.

E quelle che sono tra le due linee che vanno dall’alto al basso, si chiamano celle di una stessa fila perpendicolare, come le celle G, j, A, D, etc., e queste s, y, B, etc.

E quelle che una stessa base trasversa diagonalmente sono dette celle di una stessa base, come quelle che seguono, D, B, J, l, e queste, y, p.

Le celle di una stessa base ugualmente distanti dai suoi estremi sono dette reciproche, come queste, E, R, e B, J, poiché l’esponente della fila parallela dell’una è lo stesso che l’esponente della fila perpendicolare dell’altra, come appare in quest’esempio, dove E è nella seconda fila perpendicolare e nella quarta parallela, e la sua reciproca R è nella seconda fila parallela, e nella quarta perpendicolare reciprocamente simili sono in una stessa base e ugualmente distanti dalle sue estremità.

E’ anche facile dimostrare che l’esponente della fila perpendicolare di qualunque cella, giunto all’esponente della fila parallela, supera dell’unità l’esponente della sua base.

Per esempio, la cella F è nella terza fila perpendicolare, e nella quarta fila parallela, e nella sesta base, e questi due esponenti delle file 3+4 superano dell’unità l’esponente della base 6, cosa che deriva dal fatto che i due lati del triangolo sono divisi in un simile numero di parti; ma questo è piuttosto capito che dimostrato.

Questa osservazione è della stessa natura, che ciascuna base contiene una cella in più della precedente; così la seconda J s ha due celle, la terza A j p ne ha tre, etc.

Ora, i numeri che si mettono in ciascuna cella si trovano con questo metodo: Il numero della prima cella che è nell’angolo retto è arbitrario; ma posto questo, tutti gli altri sono obbligati; e per questa ragione si chiama il generatore del triangolo. E ciascuno degli altri è specificato da questa regola:

Il numero di ciascuna cella è uguale a quello della cella che la precede nella sua fila perpendicolare, più quello della cella che la precede nella fila parallela. Così la cella F, cioè il numero della cella F uguaglia la cella C, più la cella E, e così per le altre[3]”.

 

Caratteristiche del triangolo di Pascal

Il triangolo di Pascal possiede però molte altre caratteristiche, ed alcune di esse sono veramente notevoli.

 

Riassumiamo le caratteristiche di questo gruppo di numeri:

  1. Se si sommano tutti i numeri della riga n si ottiene esattamente 2n.

Esempio: se sommiamo tutti i numeri della riga 7 abbiamo:

 1+7+21+35+35+21+7+1 = 128 = 27

 2. Sulla linea diagonale subito dietro a quella degli 1 (chiaramente da una parte o dall’altra fa lo stesso) ci sono tutti i numeri naturali (in rosso), e su quella dietro ancora ci sono numeri triangolari (1 3 6 10 15 21 28 ...)(in verde). Quindi nella riga n si leggerà il numero triangolare che equivale alla somma di tutti i numeri naturali fino a n-1.

 

Ad esempio sulla quinta riga leggiamo il numero triangolare 10, che è 1+2+3+4; mentre sulla ottava leggiamo il numero triangolare 28, che è 1+2+3+4+5+6+7.

 

 

3. Sul triangolo di Tartaglia si possono trovare anche i numeri di Fibonacci: basta sommare i numeri delle righe diagonali che si spostano ogni volta non di un numero, ma di due. Sommando appunto i numeri di ogni riga otteniamo dalla prima 1, dalla seconda ancora 1, poi 2, 3, 5, 8, 13, 21,... Esattamente i numeri di Finbonacci.

  

4. Il triangolo di Tartaglia è utile anche nel calcolo combinatorio: si possono determinare immediatamente le combinazioni di k elementi in un gruppo di n elementi. Basta andare sull’uno della riga k e scendere in diagonale sulla riga n.

Ad esempio se si vuol sapere quanti gruppi possibili di 5 persone si possono fare in una comitiva di 8 persone basta puntare il dito sull’uno della quinta riga e scendere in diagonale fino all’ottava riga. Il numero delle combinazioni possibili è proprio 56.

  

5. Il triangolo serve per trovare le potenze di un binomio.

  (A+B)3 = 1 * A3 + 3 * (A2 * B) + 3 * (A * B2) + 1 * B3

(A+B)4 = 1*A4 + 4 *(A3 * B)+ 6*(A2 * B2)+ 4*(A * B3) + 1 * B4

 

6. Se vogliamo sapere quanto fa la somma dei primi dodici numeri triangolari, bisogna scendere obliquamente verso destra lungo la terza fila, quella che comincia con 1, 3, 6, 10. Poi bisogna cercare il numero che si trova proprio sotto a destra: 364 e quello è il risultato.

 

Oltre ad avere delle utilità pratiche possiamo notare che se evidenziamo all’interno del triangolo i numeri pari otteniamo tanti triangoli a testa in giù.

  

La stessa cosa accade se si evidenziano i numeri che sono divisibili per 5.

  

Anche per i numeri divisibili per 3, 4, etc. succede la stessa cosa.

Quindi possiamo affermare che il triangolo di Pascal o, come è spesso ricordato, il triangolo di Tartaglia racchiude in sé tutti i diversi tipi di numeri che sono stati trattati in altri articoli.

 


[1] Bottazzini, Freguglia, T. Rigatelli, Fonti per la Storia della Matematica, Sansoni.

[2] Bottazzini, Freguglia, T. Rigatelli, Fonti per la Storia della Matematica, Sansoni.

[3] Bottazzini, Freguglia, T. Rigatelli, Fonti per la Storia della Matematica, Sansoni

Ultimo aggiornamento Venerdì 25 Febbraio 2011 19:36