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Equazioni di quarto grado PDF Stampa E-mail
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Scritto da Maria Rispoli   
Domenica 16 Gennaio 2011 18:32

I primi esempi di equazioni di quarto grado si trovano in opere arabe datate attorno all’anno 1000. Un problema di Abû’l-Wefâ riportato da Abû’l-Faradsh nel Fihrist (987 c.) si riconduce a equazioni di quarto grado, ma è andata perduta l’opera contenente la risoluzione del problema.

Omar Khayyam, nella sua Algebra, risolve anche equazioni di quarto grado con il metodo geometrico utilizzato per la risoluzione di equazioni cubiche.  

 

Anche l’indiano Bhaskara (1150 c.) trova delle soluzione a dei problemi in cui sono presenti equazioni di quarto grado.

Più tardi, nella Summa di Luca Pacioli (1494 c.), troviamo un problema in cui si affronta la risoluzione di un’equazione di quarto grado.

Qualche decennio dopo, Ludovico Ferrari perviene alla risoluzione, con radicali quadratici e cubici, dell’equazione generale di quarto grado, riducendola al terzo grado.

La storia relativa alla scoperta ebbe inizio nel 1535 con uno dei soliti quesiti di Maestro Zanne de Tonini da Coi, precisamente nel Quesito XX dell’opera Quesiti et invenzioni diverse di Tartaglia:

“ … fare da 20 tre parti continue proporzionali in tal specie di proporzione, che moltiplicando le due menore l’una fia l’altra faccia 8”.

Dette x, y e z le tre quantità cercate abbiamo:

x+y+z=20 

x : y = y : z

xy = 8

dalle quali si ottengono le equazioni:

x4 + 8x2 + 64 = 20 x3

y4 + 8y2 + 64 = 160 y

Tartaglia rispose che riteneva possibile la risoluzione del problema, alla cui soluzione si sarebbe dedicato non appena alcune faccende più urgenti glielo avessero permesso.

Benché fossero passati tre anni, tale soluzione tardava però ad arrivare, per cui Maestro Zanne pose la stessa questione (insieme ad altre relative ad equazioni cubiche) ad altri matematici, tra i quali Cardano.

Quest’ultimo, temendo di non riuscire a risolvere le questioni a lui proposte nel termine stabilito, ricorse all’aiuto di Tartaglia.

Quest’ultimo resosi conto che si trattava degli stessi quesiti che erano stati posti a suo tempo anche a lui, rassicurò Cardano sul fatto che in realtà neanche il Maestro Zuanne era in grado di risolverli.

Il Maestro Zuanne dopo neppure un anno, riaprì la questione con nuovi ed altrettanto difficili quesiti, affermando di saperli risolvere e la sua sfrontatezza fu tale da riuscire, con le sue menzogne, a togliere a Cardano, nel 1540, il posto di lettore presso l’Università di Milano. La vittoria del Maestro Zuanne fu di breve durata, in quanto la sfida da lui lanciata a Cardano fu raccolta da Ludovico Ferrari che ne uscì vincitore, risolvendo effettivamente i quesiti relativi ad equazioni di quarto grado con regola valida in generale.

I risultati di Ludovico Ferrari furono esposti, relativamente ai casi numerici proposti da Maestro Zuanne, nell’Ars Magna.

Nell’Ars Magna Cardano scrive:

“…Era dovuta a Luigi Ferrari, che l’ha scoperta dietro mia richiesta…”.

Con la scoperta, da parte degli algebristi italiani, della risoluzione algebrica delle equazioni di terzo e quarto grado, ebbe inizio la teoria delle equazioni algebriche.

Si pensò che si potessero risolvere le equazioni algebriche di ogni ordine.

Tuttavia, già l’equazione di quinto grado divenne un ostacolo insormontabile.

Solo nel 1799 Paolo Ruffini e nel 1828 il norvegese Niels Abel, indipendentemente l’uno dall’altro, dimostrarono che per un’equazione algebrica di grado superiore al quarto non è possibile esprimere le radici per mezzo di un numero finito di operazioni razionali e di estrazioni di radici.

Il metodo applicato al caso particolare considerato è del tutto generale ed applicabile a qualsiasi equazione della stessa forma.

Osserviamo che per risolvere equazioni di quarto grado, prive del termine cubico, è tuttavia necessario conoscere la risoluzione completa di terzo grado, problema che per l’appunto fu affrontato e risolto da Cardano stesso con l’introduzione di opportune trasformazioni algebriche, con l’ausilio delle quali si può trasformare anche l’equazione completa di quarto grado in quella trattata da Ferrari.

La prima esposizione completa ed esauriente della risoluzione dell’equazione di quarto grado si trova nell’Algebra di Bombelli, che è considerato perciò, erroneamente, l’autore della formula risolutiva. A causa delle limitazioni che sorgono dal fatto di non usare numeri negativi come coefficienti, Bombelli tratta ben quarantadue casi distinti.

 

Metodo utilizzato da Cardano per la risoluzione delle equazioni di quarto grado

Il procedimento per la risoluzione dell’equazione:

x4 + 6x2 + 36 = 60x

riportato nell’opera di Cardano è il seguente:

1. Aggiungere ad entrambi i membri dell’equazione la quantità 6x2 allo scopo di rendere il membro sinistro un quadrato:

x4 + 12x2 + 36 = 60x + 6x2

2. Aggiungere ad entrambi i membri dell’equazione termini comportanti una nuova incognita in modo che il membro di sinistra rimanga un quadrato e tale diventi anche il membro di destra.

L’espressione da aggiungere è 2x2y + (y2 + 12y) si avrà allora:

(x2 + y + 6)2 = 2 (y + 3) x2 + 60x + y2 + 12y

che scriveremo: 

3. Il passo successivo consiste nello scegliere y in modo che il trinomio del membro a destra sia appunto un quadrato. Cioè si deve avere:

2 (y + 3) (y2 + 12y) = 302 = 900

4. Eseguiti i calcoli si deve ottenere:

y3 + 15y2 +36 = 450

Tale equazione viene risolta mediante le regole precedentemente date per la risoluzione delle equazioni di terzo grado.

5. Si sostituisce allora con i valori ottenuti nel quarto passaggio la y che compare nell’equazione del secondo passaggio e si estrae la radice quadrata di entrambi i membri.

6. Il risultato del quinto passaggio è l’equazione di secondo grado che va risolta per poter trovare il valore richiesto dalla x.

 

Metodo utilizzato da Ferrari per la risoluzione delle equazioni di quarto grado

L’equazione di quarto grado:

ax4 + bx3 +cx2 + dx + e = 0

può essere ridotta in una nuova forma operando la sostituzione:

 

per cui l’equazione assume la forma ridotta:

x4 + px2 + qx + r = 0

Ponendo:

x=u+v+w

ed elevando al quadrato, otteniamo:

 x2=u2+v2+w2+2(uv+vw+uw)

x2-(u2+v2+w2)=2(uv+vw+uw)

 Ancora elevando al quadrato:

x4-2(u2+v2+w2)x2+(u2+v2+w2)2=4(u2v2+v2w2+u2w2+2u2vw+2uv2w+2uvw2)

da cui

x4-2(u2+v2+w2)x2+[(u2+v2+w2)2-4(u2v2+v2w2+u2w2)-8uvwx]=0

infine:

x4-2(u2+v2+w2)x2-8uvwx+[(u2+v2+w2)2-4(u2v2+v2w2+u2w2)]=0

Confrontando questa relazione con la:

x4 + px2 + qx + r = 0

ricaviamo le seguenti condizioni:

  

che conducono al seguente sistema:

 

pertanto otteniamo l’equazione detta risolvente di Ferrari:

  

in cui u2, v2 e w2 sono le radici.

Osserviamo che avendo elevato al quadrato l’equazione:

 

si sono introdotte delle soluzioni estranee alla nostra equazione, infatti si avranno in totale otto soluzioni invece di quattro, ma se scegliamo a piacere una determinazione per u e v e associamo a queste il valore w dedotto dalla

 

cioè consideriamo:

 

tale inconveniente può essere eliminato.

Infatti se denotiamo con e con  una determinazione rispettivamente di u e v otteniamo le radici:

 

 

 

Metodo risolutivo delle equazioni di quarto grado

Vediamo il metodo risolutivo delle equazioni di quarto grado del tipo:

x4 +ax3 +bx2 + cx + d = 0

Come prima cosa cerchiamo di eliminare il termine in x3, per fare questo effettuiamo la sostituzione:

 

otteniamo:

 

Dopo aver sviluppato e semplificato, si perviene alla equazione:

y4 + 2Ay2 – By – C = 0

dove si è posto:

,

,

 

Ora effettuiamo il completamento dei quadrati, scriviamo l’equazione in questo modo:

y4 + 2Ay2 =  By + C

e aggiungiamo A2 a entrambi i membri affinché al primo si formi un quadrato perfetto:

(y2 + A)2 = A2 + By + C

Adesso vogliamo che anche il secondo membro sia una quadrato perfetto, per fare ciò utilizzeremo una variabile ausiliaria z.

Aggiungiamo z dentro il quadrato del primo membro e al secondo membro il termine :

z2 + 2(y2 + A)z

in modo che si mantenga l’uguaglianza:

(y2 + A + z)2 = A2 + By + C + z2 + 2(y2 + A)z

Sviluppando e raccogliendo rispetto alla y otterremo:

(y2 + A + z)2 = 2zy2 + By + (z2 + 2Az + A2 + C)

Adesso imporremo che il secondo membro sia un quadrato perfetto, ovvero che sia nullo il discriminante dell’equazione in y:

2zy2 + By + (z2 + 2Az + A2 + C) = 0

Per risolvere questa equazione utilizzeremo il metodo già descritto per la risoluzione delle equazioni di terzo grado.

Eliminiamo il termine in z2 con l’ausilio dell’incognita ausiliaria w, ponendo:

  

Sviluppando e semplificando otteniamo:

w3 + Pw – Q = 0

dove si è posto:

  

Troviamo la soluzione:

 

e poiché:

  

l’equazione:

2zy2 + By + (z2 + 2Az + A2 + C) = 0

ha soluzione:

  

e il secondo membro della:

(y2 + A + z)2 = 2zy2 + By + (z2 + 2Az + A2 + C)

diventa un quadrato perfetto. Abbiamo ottenuto:

 

estraendo la radice si ha:

 

dove si è posto:

  

Otteniamo le due equazioni di secondo grado

                   

che ci forniscono le soluzioni:

               con            

               con            

 

 

Ultimo aggiornamento Giovedì 27 Gennaio 2011 17:24