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Equazioni biquadratiche PDF Stampa E-mail
( 2 Votes )
Scritto da Maria Rispoli   
Domenica 16 Gennaio 2011 18:40

Le equazioni biquadratiche sono le equazioni di quarto grado mancanti dei termini in x3 e x:

 Ax4 + Bx2 + C = 0

Essa viene chiamata anche equazione biquadratica trinomia.

Posto

 y = x2

l’equazione biquadratica diventa:

 Ay2 + By + C = 0

 cioè una equazione di secondo grado con soluzioni y1 e y2.

L’incognita y, così introdotta, dicesi incognita ausiliaria e l’equazione di secondo grado in y, dedotta dalla biquadratica, si dice risolvente dell’equazione biquadratica.

 

Le soluzioni dell’equazione biquadratica sono quindi:

 

 

Cioè da ogni radice positiva della risolvente si deducono due radici reali opposte della biquadratica e dalle radici negative della risolvente, invece, non si possono dedurre radici reali della biquadratica.

In generale le quattro radici sono espresse dalla formula:

 

che si dice formula risolutiva dell’equazione biquadratica trinomia[1].

Pertanto dati in input i valori A e B è possibile generare un elaborato in Visual Basic che ci permette di giungere in modo rapido alla soluzione dell’equazione proposta.

Si chiama discriminante dell’equazione biquadratica il discriminante ? della sua risolvente, cioè l’espressione B2-4AC.

Possiamo presentare i seguenti tre casi:

 1. .

In questo caso la risolvente ha due radici reali e distinte. Da ciascuna di queste, estraendone la radice quadrata, si ricavano, se possibile, due radici opposte dell’equazione biquadratica.

Quindi tenendo presente il teorema di Cartesio ed osservando che la risolvente ha tante variazioni e permanenze quante ne ha la biquadrativa (perché le due equazioni hanno gli stessi coefficienti), distinguiamo i seguenti tre sottocasi:

  • Se l’equazione biquadratica data presenta 2 variazioni, la sua risolvente ha due radici positive e quindi essa ha 4 radici reali.
  • Se l’equazione biquadratica data presenta 1 variazione ed 1 permanenza, la sua risolvente ha 1 radice positiva ed 1 negativa e quindi essa ha solo 2 radici reali, dedotte dall’unica radice positiva della risolvente.
  • Se l’equazione biquadratica data presenta 2 permanenze, la sua risolvente ha 2 radici negative e quindi essa non ha alcuna radice reale.

 

2. .

In questo caso la risolvente ha due radici reali e coincidenti date da: y1=y2=-B/(2A). Possono presentarsi due sottocasi:

  • Se B ed A sono concordi il quoziente -B/(2A) risulta negativo ed allora, essendo negative le due radici uguali della risolvente, la biquadratica non ha radici reali.
  • Se B ed A sono discordi il quoziente -B/(2A) risulta positivo ed allora, essendo positive le due radici uguali della risolvente, la biquadratica ha 4 radici reali (a due a due uguali tra loro).

 3. .

In questo caso la risolvente non ha radici reali e non ne ha, di conseguenza, neppure la biquadratica.

 Riassumiamo nel seguente specchietto i risultati della discussione fatta:

 

2 variazioni

4 radici nell’insieme R

1 variazione ed 1 permanenza

2 radici nell’insieme R

2 permanenze

Nessuna radice nell’insieme R

B ed A concordi

Nessuna radice nell’insieme R

B ed A discordi

4 radici nell’insieme R

Nessuna radice nell’insieme R

 

 

 


[1] U. Russo, Dal Papiro Rhind a Cantor, Le Monnier.

(Registrati e scarica l'allegato per saperne di più)

Ultimo aggiornamento Domenica 30 Gennaio 2011 20:25