I Numeri Complessi Stampa
Scritto da Maria Rispoli   
Domenica 09 Gennaio 2011 20:54

E’ possibile identificare un numero complesso scritto in forma algebrica:

z=x+iy

con un vettore in un riferimento cartesiano ortonormale Oxy:

 

dove la quantità:

 

viene detta modulo di z mentre l’angolo orientato J che la semiretta OP forma con il semiasse positivo delle x, argomento o anomalia di z.

 

La posizione del punto P è definita da J e da ogni altro angolo multiplo di esso di un angolo giro: J+2kp, con k appartenente a Z.

Si deduce quindi che ogni numero complesso z=x+iy risulta geometricamente determinato quando se ne assegna il modulo e l’argomento.

Dalla precedente figura possiamo ricavare le seguenti relazioni:

x=rcosJ                     y=rsinJ

da cui:

          .

La forma:

z=r(cosJ+isinJ)

viene detta forma trigonometrica del numero complesso z.

Dati due numeri complessi:

z1=r1(cosJ1+isinJ1)               z2=r2(cosJ2+isinJ2)

è possibile definire il loro prodotto come:

z1z2=r1r2 (cosJ1+isinJ1)(cosJ2+isinJ2)=

=r1r2 (cosJ1 cosJ2+isinJ1 cosJ2+isinJ2 cosJ1 +isinJ2 isinJ1)=

=r1r2 (cosJ1 cosJ2+isinJ1 cosJ2+isinJ2 cosJ1 - sinJ2 sinJ1)=

=r1r2 [cosJ1 cosJ2 - sinJ2 sinJ1+i(sinJ1 cosJ2+sinJ2 cosJ1)]=

=r1r2 [cos(J1 + J2 )+isin(J1 +J2)]

Quindi:

z1z2=r1r2 [cos(J1 + J2 )+isin(J1 +J2)]

Questa formula può essere generalizzata al caso di n fattori uguali al numero complesso z, quindi abbiamo:

z*z* …*z=r*r* ....r [cos(J + J + ... +J )+isin(J +J+ ... +J)]

e possiamo scrivere:

zn= [r(cosJ + isinJ)]n=rn(cosJ + isinJ)

dove n appartenente a Z

Questa formula è detta formula di Moivre e riveste particolare importanza nelle applicazioni.

E’ possibile definire anche l’operazione di divisione, infatti si ha:

 

Possiamo definire anche la radice n-esima di un numero complesso.

Si chiama radice n-esima (con n intero positivo) di un numero complesso z ogni numero complesso n tale che si abbia:

nn=z

Se z=0 si ha che n=0.

Supponiamo pertanto che sia z diverso da 0 e scriviamo i due numeri complessi sotto forma trigonometrica:

z=r(cosJ+isinJ)

n=g (cosj+isinj)

Avvalendoci della formula di Moivre, possiamo scrivere:

gn(cosnj+isinnj)=r(cosJ+isinJ)

e tenendo presente che se due numeri complessi sono uguali allora i loro moduli lo sono, mentre i loro argomenti differiscono di un multiplo intero di 2p:

gn=r                nj=J+2kp

da cui:

                            

sostituendo queste nell’espressione di n, abbiamo:

 

 

Tale formula fornisce per ogni valore intero di k, una radice n-esima del numero complesso n.

Osserviamo che ogni numero complesso non nullo: z=r(cosJ+isinJ) ammette n e solo n radici n-esime, date dalla formula:

 

dove si pone, successivamente k=0, 1, 2, 3, ………, n-1

Particolare importanza riveste per le applicazioni la determinazione delle radici n-esime dell’unità, vale a dire del numero complesso z=1.

Difatti, essendo:

z=cos 0 + i sin 0 = 1

risulta:

r=1               J=0

per cui abbiamo:

 

Se n = 3 otteniamo le seguenti radici cubiche che si possono applicare per l’equazione di terzo grado:

 

 

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Ultimo aggiornamento Domenica 20 Febbraio 2011 19:35