Equazione di primo grado Stampa
Scritto da Maria Rispoli   
Domenica 16 Gennaio 2011 18:19

Il desiderio di risolvere dei problemi è stato, fin dai tempi più antichi, d’incitamento a considerare e studiare le equazioni ed i sistemi d’equazioni in cui quei problemi si traducevano e quindi causa dell’origine e dello sviluppo dell’algebra.

Le origini della teoria delle equazioni é molto remota, in quanto la regola di risoluzione di equazioni di primo grado implica solo l’esecuzione di operazioni razionali, quindi possiamo affermare che anche i popoli più antichi, che erano in grado solo di contare e di fare operazioni aritmetiche con numeri interi o frazionari, sapevano risolvere problemi che si riconducevano ad equazioni di primo grado[1].

 

Metodo di falsa posizione presso gli Egizi 

Le equazioni di primo grado venivano risolte per tentativi fin dai tempi più remoti; i matematici greci le risolvevano con metodi geometrici; solo con l’introduzione della Regola d’Algebra da parte dei matematici arabi, si può parlare di risoluzione in senso moderno.

Una delle maggiori fonti di informazione della cultura matematica degli antichi Egizi è data da un papiro (largo circa 30 cm e lungo circa 5,46 m) conservato nel British Museum e noto come Papiro di Ahmes in onore dello scriba che lo aveva trascritto verso il 1.650 a.C.

 

Il problema 24, di tale papiro, chiede:

“Quale sia il valore del mucchio se il mucchio e il settimo del mucchio sono uguali a 19.”

Questo problema equivale a risolvere un’equazione che con il simbolismo matematico possiamo scrivere:

.

Il metodo di risoluzione d’Ahmes consiste nell’attribuire all’incognita un valore che molto probabilmente è falso, e su questo valore eseguire le operazioni indicate alla sinistra del segno di uguaglianza.

Il risultato di quest’ operazione viene poi confrontato con il risultato desiderato, e ricorrendo all’uso di proporzioni si trova la risposta esatta.

Nel problema 24 del Papiro d’Ahmes il valore attribuito all’incognita è 7. Si ottiene allora:

 

Possiamo quindi scrivere:

8 : 19 = 7 : x

da cui:

 

Questo si chiama metodo di falsa posizione e non è una regola algebrica in senso moderno in quanto non è, in senso stretto, un algoritmo che agisce solo sui coefficienti[2].

Anche nel famoso Papiro Rhind (antichissimo documento egiziano, copia d’un altro documento più antico scritto tra il 1849 ed il 1801 a.C.) si trovano risolti dei semplici problemi che si traducono in equazioni di primo grado ad una incognita.

Anche i matematici indiani ed arabi risolsero equazioni di primo grado. Ricordiamo gli indiani Arya-Batha (V sec. d.C.) e Brahmagupta (VII se. d.C.) e l’arabo Mohammed ibn Musa al Khowarizmi, la cui opera più importante è un’algebra dal titolo, in arabo, Al giabr we al mukabala[3]. L’incognita era chiamata cosa o radice ed i dati del problema numeri[4].

 

La Regula Infusa di Job ben Salomon 

Dopo l’anno 1000, sotto l’influenza araba, gli Ebrei contribuirono non poco al progresso degli studi matematici, in particolare, in tale epoca, i più famosi matematici spagnoli non erano Maomettani bensì appunto Ebrei.

Tra questi ricordiamo Abraham ben Ezra (c. 1140) che nella sua opera Sefer ha Mispar (Libro del Numero) espone un metodo per risolvere equazioni di primo grado, attribuendolo al matematico ebreo Job ben Salomon, metodo citato nelle traduzioni latine come Regula Infusa.

Tradotto in linguaggio algebrico moderno il metodo è il seguente.

Data l’equazione:

m ( Ax + B ) + C = 0

poniamo:

Ax + B = y,

allora

my + C = 0

quindi

 

ed infine

 

che può essere risolta rispetto ad x.

Quanto detto è reso evidente dall’esempio seguente che è quello con cui lo stesso Abraham ben Ezra illustra la regola.

Data l’equazione:

 

si pone

 

quindi

 

da cui

 

ed infine

 

che può essere risolta rispetto ad x[5].

Dopo Leonardo Fibonacci da Pisa (1170-1250), dette per primo esempi d’interpretazione delle soluzioni negative nei problemi, seguendo, forse, l’uso degli arabi e degli indiani[6].

 

La regola di falsa posizione nella matematica araba del Medioevo 

La regola di falsa posizione, illustrata nel papiro di Ahmes, si trova in una forma più elaborata nell’opera Talchîs (c. 1300) del matematico marocchino Ibn al Banna, noto anche con il soprannome di al Marrâkuschî.

Tradotta nel linguaggio matematico attuale la regola è la seguente.

Data l’equazione:

Ax + B = 0

attribuiamo ad x il valore h ed indichiamo con k il risultato ottenuto sostituendo h nell’equazione, cioè:

Ah + B = k

Sottraendo quest’equazione dalla precedente si ha:

Ax - Ah + B - B = 0 - k

Ax - Ah = - k

A (h – x) = k

 

che sostituita nell’equazione Ax + B = 0 ci dà:

.

Risolvendo quest’ultima rispetto ad x, otteniamo:

.

 

Dunque fatta la posizione x = h, la soluzione dell’equazione di primo grado si scrive immediatamente nella forma:

.

Questo metodo risulta particolarmente utile nell’ambito dell’algebra retorica[7] o sincopata[8], in quanto permette di calcolare la soluzione di equazioni di primo grado senza eseguire la somma dei termini simili, come risulta dal seguente esempio.

Consideriamo l’equazione:

 

poniamo h = 12, allora si ha k =  -14, quindi:

.

 

La regola di doppia falsa posizione

Antica è anche la regola chiamata di doppia falsa posizione, regola usata dagli algebristi anche in epoche recenti, tanto che ne viene raccomandato l’insegnamento nei ginnasi austriaci ancora nel 1884.

Esponiamo la regola facendo uso del simbolismo moderno.

Data l’equazione:

Ax + B = 0

poniamo x=h1 e x=h2 ottenendo per sostituzione, rispettivamente i numeri k1 e k2; si ha cioè

Ah1+B=k1

Ah2+B=k2

sottraendo si ha:

A(h1-h2)=k1-k2

moltiplicando le equazioni precedenti per h2 e h1 otteniamo:

Ah1h2+Bh2=k1k2

Ah1h2+Bh1=k1k1

sottraendo si ottiene

B(h2-h1)=k1h2-k2h1

dividendola per la:

A(h1-h2)=k1-k2

si ottiene:

 

quindi

.

Da questa regola dati in input i valori A, B, h1, h2, possiamo ricavare i valori di k1 e k2 e giungere in modo rapido alla soluzione x.

Vediamo una applicazione pratica di questa regola.

Supponiamo di avere dei polli e dei conigli, sappiamo che in tutto ci sono 116 zampe e 34 teste, vogliamo conoscere il numero di polli e di conigli.

Possiamo procedere in diversi modi per risolvere questo problema.

1. Se fossero tutti polli avremmo:

116 : 2 = 58

cioè 58 polli, ma sappiamo che le teste sono 34, quindi ci sono:

58 – 34 = 24

cioè 24 teste virtuali che danno il numero degli animali a quattro zampe, quindi abbiamo trovato che ci sono 24 conigli e di conseguenza i polli sono 10 e pertanto il nostro problema è stato risolto.

2. Supponiamo che x sia il numero dei conigli, abbiamo che vale la seguente relazione:

4x + 2 (34 - x) = 116

4x+68-24x = 116

2 x = 116 - 68

2x = 48

x = 24

pertanto procedendo in modo diverso siamo giunti alla conclusione che i conigli sono 24 e i polli 10.

3. Supponiamo che il numero dei conigli sia 20 abbiamo:

4x+2(34-x)= 4*20+2(34-20)=108

avremmo 108 zampe, ma le zampe erano 116 quindi abbiamo:

116-108=8

quindi ci sono 8 zampe in meno.

Supponiamo che il numero dei conigli sia 30 abbiamo:

4x+2(34-x)= 4*30+2(34-30)=128

avremmo 128 zampe, ma le zampe erano 116 quindi abbiamo:

116-128= -12

quindi ci sono 12 zampe in più.

Per sapere quanti sono i conigli effettuiamo il seguente calcolo:

 

pertanto i conigli sono 24 e i polli sono 10.

Quest’ultimo esempio utilizza la regola di doppia falsa posizione. Vediamola meglio.

4. Dall’equazione:

2x=48

ricavata al punto 2 otteniamo:

2x-48=0

Se h1=20 e h2=30 per la regola di falsa posizione calcoliamo:

k1=Ah1+B=2*20-48=-8

k2=Ah2+B=2*30-48=12

e pertanto il numero di conigli è:

 

Tale regola si trova tra l’altro nel Liber Abaci (1202) di Leonardo Fibonacci; nella Summa (1494) di Luca Pacioli; nel General Trattato (1560) di Tartaglia, ecc.

Come curiosità ricordiamo che R. Recorde nella sua opera Ground of Artes (1542) ne dà addirittura una esposizione in versi[9].

 

Risoluzione di equazioni di primo grado

Nel Rinascimento la risoluzione delle equazioni era considerata vera arte.

Luca Pacioli (seconda metà del sec. XV) chiamò l’algebra arte o regula della cosa; altri la chiamarono artium ars e ars magna (in contrapposizione al nome ars minor dato all’aritmetica).

Si ebbero grandi progressi nella teoria delle equazioni per opera di grandi matematici italiani del sec. XV e XVI fra i quali Scipione Dal Ferro, Nicolò Tartaglia, Ludovico Ferrari e Girolamo Cardano[10].

Un’equazione di primo grado è sempre riconducibile alla forma tipica:

Ax + B = 0

che ha come soluzione:

 

dove A e B sono coefficienti (numeri reali o espressioni algebriche non contenenti la x) e possono assumere qualsiasi valore.

Abbiamo quattro casi:

1.  e B=0 l’equazione è possibile ed ammette la radice nulla x = 0;

2. A = 0 e  non vi è nessuna soluzione e l’equazione viene detta impossibile.

Infatti per qualsiasi x l’uguaglianza:

0 * x + B = 0

è assurda;

3. A = 0 e B = 0 vi sono infinite soluzioni, cioè ogni numero è soluzione e l’equazione viene detta indeterminata.

Infatti per qualsiasi x, l’uguaglianza:

0 * x = 0

sempre vera;

4. e   l’equazione è possibile ed ammette la soluzione:

 

Se l’equazione ha soluzione determinata, sostituendo il valore della soluzione nell’equazione si ottiene una identità.

 

 


[1] R. Franci, L. T. Rigatelli, Storia della teoria delle equazioni algebriche.

[2] R. Franci, L. T. Rigatelli, Storia della teoria delle equazioni algebriche, Mursia.

[3] Dal titolo di quest’opera ha avuto origine il nome algebra. Precisiamo che con le parole al giabr (tradotte in latino con la parola restauratio) si indicava l’operazione del trasporto d’un termine da un membro all’altro dell’equazione e con le parole al mukabala s’indicava l’operazione che oggi chiamiamo riduzione dei termini simili.

[4] U. Russo, Dal Papiro Rhind a Cantor, Le Monnier.

[5] R. Franci, L. T. Rigatelli, Storia della teoria delle equazioni algebriche, Mursia

[6] Ugo Russo, Dal Papiro Rhind a Cantor, editore Le Monnier.

[7] Algebra retorica nella quale i problemi e la loro risoluzione sono espressi completamente a parole.

[8] Algebra sincopata nella quale per qualche operazione e per alcune quantità sono usate abbreviazioni simboliche.

[9] R. Franci, L. T. Rigatelli, Storia della teoria delle equazioni algebriche, Mursia

[10] U. Russo, Dal Papiro Rhind a Cantor, Le Monnier

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Ultimo aggiornamento Domenica 06 Febbraio 2011 19:58